Question

直线Y=X+1与一个中心在原点的椭圆交A,B两点,有OA垂直于OB,且AB=(根号10)/2,求这个椭圆的方程?

Answer 1

分析：设椭圆的长,短半轴长分别为a,b.

1>,当椭圆焦点在x轴上时,设A,B的坐标分别为A(acost,bsint),B(acos(t+90度),bsin(t+90度)),即B(-asint,bcost).根据题设,得：

acost-bsint+1=0...(1)

-asint-bcost+1=0...(2)

[a(cost+sint)]^2+[b(sint-cost)]^2=5/2...(3)

由(1),(2),得：a^2+b^2=2...(3)（由sin^2t+cos^2t=1得到)

由(3)得：(a^2+b^2)-2[(a^2-b^2)^2/(a^2+b^2)]=5/2...(4)

由(3),(4)得(a^2-b^2)的值后解出a^2,b^2即可.（可能无解)

2>,当椭圆焦点在y轴上时,仿上设A,B的坐标分别为A(bsint,acost), B(bcost,-asint).同(1)列出方程组后解出a^2,b^2即可(可能无解,注意a^2>b^2)