Question

已知函数f（x）=x2+2x+1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立，则实数m的最大值是（　　）

Answer 1

解题思路：由当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立即设g（x）=f（x+t）-x≤0恒成立，即要要求g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值．

设g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，

由题值f（x+t）-x≤0恒成立即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得：

t∈[-3，-1]，m²+（2t+1）m+（t+1）²≤0，

即当t=-1时，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1；当t=-3时，得到m²-5m+4≤0，解得1≤m≤4

综上得到：m∈[1，4]，所以m的最大值为4

故选D

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力．灵活运用二次函数求最值的方法的能力．