解题思路：（1）①根据f（3）＜0，a＞1构造不等式组，解不等式组，可得a的取值范围；
②由①中结论，可得a取（1，1.445）中的任意值都可以，进而给出合适的x0，即可得到答案．
（2）设曲线
y＝x+
p
x]上两个对称点为（m，n），（n，m），可得p=-2m2，进而得到实数p的取值范围；
（3）提出的问题是：当a∈（0，e-e）时，函数y=ax与y=logax的图象有3个交点；当a∈[e-e，1）时，函数y=ax与y=logax的图象有1个交点，进而根据（1）（2）的结论可进行推导论证．
（1）①
f(3)＜0
a＞1⇒
a3−3＜0
a＞1⇒1＜a＜
33
…（4分）
②当a=1.1，x0=2时，f（x0）＜0成立
注：a取（1，1.445）中的任意值都可以，相应的x0均给分…（6分）
（2）设曲线y＝x+
p
x上两个对称点为（m，n），（n，m），
于是
m+
p
m＝n
n+
p
n＝m…（9分）
m+
p
m+
p
m+
p
m＝m(p≠0)⇒p＝−2m2…（11分）
所以p＜0；…（12分）
（3）提出的问题是：当a∈（0，e-e）时，函数y=ax与y=logax的图象有3个交点；当a∈[e-e，1）时，函数y=ax与y=logax的图象有1个交点．…（14分）
问题解决如下：显然，当0＜a＜1时，函数y=ax与y=logax的图象在直线y=x上有一个交点．…（15分）
若曲线y=ax上有两个点（m，n），（n，m）关于直线y=x对称，则
n＝am
m＝an⇒a＝n
1
m＝m
1
n⇒lna＝
1
mlnn＝
1
nlnm⇒mnlna=nlnn=mlnm，
即m，n是函数y=xlnx（0＜x＜1）与直线y=c（c为常数）的交点的横坐标．
因为函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，
1
e]上单调递减，在区间[
1
e，1)上单调递增．
于是x＝
1
e时f（x）=xlnx取得最小值−
1
e，即−
1
e≤xlnx＜0，由其图象可得到，当c∈(−
1
e，0)时，m，n成对出现，且[1/mlnn＝
1
nlnm∈(−∞，−e)．…（18分）
当lna＜-e，即a∈（0，e-e）时，点（m，n），（n，m）存在，即函数y=ax与y=logax的图象有3个交点；
当lna≥-e，即a∈[e-e，1）时，点（m，n），（n，m）不存在，函数y=ax与y=logax的图象只有1个交点．…（20分）
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；反函数．
考点点评： 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，反函数，具有相当的主观性，难度也比较大．
1年前
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