Question

关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：分离参数a，把不等式变形为a≤x+[25/x]+|x²-5x|，只需a小于等于x+[25/x]+|x²-5x|的最小值即可．

由x²+25+|x³-5x²|≥ax，1≤x≤12⇒a≤x+[25/x]+|x²-5x|，

而x+[25/x]≥2

x•

25

x=10，当且仅当x=5∈[1，12]时取等号，

且|x²-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈[1，12]时成立；

所以，a≤[x+[25/x]+|x2-5x|]min=10，等号当且仅当x=5∈[1，12]时成立；

故答案为：（-∞，10]；

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，本题中要注意等号须同时成立．