1
1)
直线l:y=kx-1本身过固定点P(0,-1);
将y=kx-1代入双曲线方程得
(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0;
使1-k^2≠0 →k≠±1,
且:上式的判别式▲=4k^2 +8(1-k^2)=8-4k^2 ＞0,→-√2＜k＜√2.
于是,
实数k的取值范围就是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)
2)
由(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0中的韦达定理得
x1+x2=2k/(k^2 -1);
x1·x2=2/(k^2 -1);
则(x1-x2)^2=(x1+x2)^2 -4·x1·x2
=(8-4k^2)/(k^2 -1)^2
则|AB|=√[(1+k^2)·(x1-x2)^2]
=2√[(1+k^2)·|2-k^2|] /|k^2 -1|;
由点到直线距离公式得,O到AB即直线l:y=kx-1距离为
L=|-1|/√(1+k^2)=1/√(1+k^2);
于是可知,S△AOB=(1/2)*L*|AB|=2√|2-k^2| /|k^2 -1|;
则2√|2-k^2| /|k^2 -1|=√2;
解得
k=0或k=±√6/2
2
1)
F2的坐标为(2,0).
设直线AB的方程为：
y=tan30°*(x-2)
与x^2-y^2/3=1联立,得
8x^2+4x-13=0,
∴|AB|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|=(3/2)√3,
2)
∵|F1A|-|F2A|=1,
|F1B|-|F2B|=1,
∴|F1A|+|F1B|
=2+|AB|,
∴△ABF1的周长等于
4+2|AB|=4+3√3