数学问题:已知曲线C:x^2-y^2=1及直线l:y=kx-1

2个回答

  • 1

    1)

    直线l:y=kx-1本身过固定点P(0,-1);

    将y=kx-1代入双曲线方程得

    (1-k^2)x^2 +2kx -2 =0;

    使1-k^2≠0 →k≠±1,

    且:上式的判别式▲=4k^2 +8(1-k^2)=8-4k^2 >0,→-√2<k<√2.

    于是,

    实数k的取值范围就是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)

    2)

    由(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0中的韦达定理得

    x1+x2=2k/(k^2 -1);

    x1·x2=2/(k^2 -1);

    则(x1-x2)^2=(x1+x2)^2 -4·x1·x2

    =(8-4k^2)/(k^2 -1)^2

    则|AB|=√[(1+k^2)·(x1-x2)^2]

    =2√[(1+k^2)·|2-k^2|] /|k^2 -1|;

    由点到直线距离公式得,O到AB即直线l:y=kx-1距离为

    L=|-1|/√(1+k^2)=1/√(1+k^2);

    于是可知,S△AOB=(1/2)*L*|AB|=2√|2-k^2| /|k^2 -1|;

    则2√|2-k^2| /|k^2 -1|=√2;

    解得

    k=0或k=±√6/2

    2

    1)

    F2的坐标为(2,0).

    设直线AB的方程为:

    y=tan30°*(x-2)

    与x^2-y^2/3=1联立,得

    8x^2+4x-13=0,

    ∴|AB|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|=(3/2)√3,

    2)

    ∵|F1A|-|F2A|=1,

    |F1B|-|F2B|=1,

    ∴|F1A|+|F1B|

    =2+|AB|,

    ∴△ABF1的周长等于

    4+2|AB|=4+3√3