解题思路:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式,代入函数y=f(x)可得g(x)的解析式.
(Ⅱ)不等式可化为 2x2-|x-1|≤0,分类讨论,却掉绝对值,求出不等式的解集.
(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,
且
x0+x
2=0
y0+y
2=0,即
x0=-x
y0=-y.
∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故,g(x)=-x2+2x.
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤[1/2].因此,原不等式的解集为[-1,[1/2]].
点评:
本题考点: 绝对值不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法.
考点点评: 本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法,体现了分类讨论的数学思想.