(2005•浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.

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  • 解题思路:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式,代入函数y=f(x)可得g(x)的解析式.

    (Ⅱ)不等式可化为 2x2-|x-1|≤0,分类讨论,却掉绝对值,求出不等式的解集.

    (Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,

    x0+x

    2=0

    y0+y

    2=0,即

    x0=-x

    y0=-y.

    ∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,

    ∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故,g(x)=-x2+2x.

    (Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0

    当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.

    当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤[1/2].因此,原不等式的解集为[-1,[1/2]].

    点评:

    本题考点: 绝对值不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法,体现了分类讨论的数学思想.