Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1-x≤f（x），且f（x）=f（1-x）．（

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），f（0）=1，

∴c=1，

又对任意x∈R，f（x）=f（1-x）

∴f（x）图象的对称轴为直线x＝

1

2，

则?

b

2a＝

1

2，∴a=-b，

又对任意x∈R都有1-x≤f（x），即ax²-（a-1）x≥0对任意x∈R都成立，

∴

a＞0

△＝(a?1)2≤0，

故a=1，b=-1

∴f（x）=x²-x+1；

（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x²+x=m²-m，

由题意知方程x²+x=m²-m在x∈[-2，2]有解．

令g(x)＝x2+x＝(x+

1

2)2?

1

4，

∴g（x）_min=g（-[1/2]）=-[1/4]，g（x）_max=g（2）=6，

∴?

1

4≤m²-m≤6，

∴

m2?m≤6

m2?m≥?

1

4?

?2≤m≤3

m∈R??2≤m≤3，

所以满足题意的实数m取值范围[-2，3]．