Question

（2012•湘潭模拟）设椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．求出B，F₁，F₂点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程．

（Ⅱ）设N（t，t²-1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值

（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．

令y=0得x²-1=0即x=±1，则F₁（-1，0），F₂（1，0），故c=1．

所以a²=b²+c²=5．于是椭圆C₁的方程为：

x2

5+

y2

4＝1．（3分）

（Ⅱ）设N（t，t²-1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y-（t²-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t²-1．（4分）

代入椭圆方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），x1+x2＝

5t(t2+1)

1+5t2，x1x2＝

5(t2+1)2−20

4(1+5t2)，

故|PQ|＝

1+4t2|x1−x2|＝

1+4t2.

(x1+x2)2−4x1x2=

5•

1+4

点评：

本题考点： 圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的值，以及利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边长度与高，表示出△MPQ的面积利用函数的知识求出最值，本题综合性强，运算量大，要避免运算出错，变形出错．