（1）f′（x）=
1
x+1 +a
由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）=
1
x+1 -1．
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1．
（2）∵f′（x）≥2x，∴
1
x+1 +a≥2x，∴a≥2x-
1
x+1 ．
令g（x）=2x-
1
x+1 （1≤x≤2），
∴g′（x）=2+
1
(x+1 ) 2 ＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数，
∴a≥g（1）=
3
2 ．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．
（3）f′（x）=
1
x+1 +a．
∵
1
x+1 ＞0，
∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数．
当a＜0时，令f′（x）=0，x=-
1
a -1；
若x∈（-1，-
1
a -1）时，f′（x）＞0，
若x∈（-
1
a -1，+∞）时，f′（x）＜0；
综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，-
1
a -1），递减区间是：（-
1
a -1，+∞）．