Question

已知f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y). 求证(1)f(x)是奇函数 (2)若f(-5)=a,试用

Answer 1

1、

令y=0 有f(x)=f(x)+f(0) ①

令y=-x 有f(0)=f(x)+(-x) ②

①②联立

f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)

-f(x)=f(-x)

∴f(x)是奇函数

2、

由1知f(x)为奇函数

f(-x)=-f(x) 则

f(-5)=-f(5)=a

-f(5)=a

两边乘以-1

f(5)=-a

f(10)=f(5+5)=f(5)+f(5)=-2a

所以f(10)=-2a