解题思路:(Ⅰ)由题意及图可得,先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD,再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直;
(II)解法一:由(I)知,AD⊥BD,可得出AC⊥BC,结合FC⊥平面ABCD,知CA,CA,CF两两垂直,因此可以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为X轴,Y轴,Z轴建立如图的空间直角坐标系,设CB=1,表示出各点的坐标,再求出两个平面的法向量的坐标,由公式求出二面角F-BD-C的余弦值即可;
解法二:取BD的中点G,连接CG,FG,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可证明出∠FGC为二面角F-BD-C的平面角,再解三角形求出二面角F-BD-C的余弦值.
(I)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°.所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°,因此,∠ADB=90°,AD⊥BD,又AE⊥BD且,AE∩AD=A,AE,AD⊂平面AED,所以BD⊥平面AED;(II)解法一...
点评:
本题考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;向量语言表述线面的垂直、平行关系;二面角的平面角及求法.
考点点评: 本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法,解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法-向量法与几何法,本题是高中数学的典型题,也是高考中的热点题型,尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题,学习时要好好把握向量法的解题规律.