解题思路：（1）先对函数求导，研究函数的单调区间，由b≥e结合函数的单调性可得f（b）≥f（e），整理可得
（2）对函数F（x）求导，找出该函数的极值点x=e-a，讨论e-a与1的大小，确定F（x）在区间[1，+∞）上的单调性，判断函数F（（x）是否存在最小值
由已知有f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，即lnx+1=0，解得x=[1/e]．当x∈[
1
e，+∞)时，f'（x）≥0，即f（x）在[
1
e，+∞)上是增函数；
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，即f（x）在(0，
1
e)上是减函数．（4分）
于是由b≥[1/e]，有f（b）≥f（[1/e]），即blnb≥[1/eln
1
e]．
整理得lnbbe≥ln
1
e
∴bbe≥
1
e．（6分）
（2）F'（x）=f'（x）+（a-1）=lnx+a，令F'（x）=0，即lnx+a=0，
解得x=e-a．当e-a≤1，即a≥0时，F（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴F（x）min=F（1）=a-1；
当e-a＞1，即a＜0时，F（x）在[1，e-a]上是减函数，在（e-a，+∞）上是增函数，
∴F（x）min=F（e-a）=e-alne-a+（a-1）e-a=-e-a．
即F（x）存在最小值，当a≥0时，最小值为a-1，当a＜0时，最小值为-e-a．（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．