Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2．

Answer 1

解题思路：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，再令y=-x可求得f（-x）=-f（x），从而可证f（x）为奇函数；

（2）依题意知，奇函数f（x）是R上的单调递增函数，不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log²₂t-2）＜0恒成立⇔klog₂t＜log²₂t-log₂t+2在t＞2时恒成立，令m=log₂t则m＞1，问题转化为研究km＜m²-m+2在m＞1时恒成立，构造函数g（m）=m²-（k+1）m+2，利用二次函数的单调性即可求得k的取值范围．

（1）令x=y=0得，f（0）=2f（0），

∴f（0）=0；

再令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），

∴f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，

（2）∵f（0）=0，f（1）=2，且f（x）是R上的单调函数，

∴f（x）是R上的单调递增函数，又f（x）为奇函数，

∴f（klog₂t）＜-f（log₂t-log²₂t-2）=f（log²₂t-log₂t+2），

∴klog₂t＜log²₂t-log₂t+2在t＞2时恒成立，

令m=log₂t则m＞1，即 km＜m²-m+2在m＞1时恒成立，

∴可化为m²-（k+1）m+2＞0在m＞1时恒成立，

设g（m）=m²-（k+1）m+2，

∵g（0）=2＞0，

则[k+1/2]＜0①或△=（k+1）²-8＜0②或

0＜

k+1

2≤1

g(1)≥0③，

解①得k＜-1；

解②得-2

2-1＜k＜2

2-1；

解③得-1＜k≤1

综上所述，k＜2

2−1．

∴k的取值范围为（-∞，2

2-1）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判定与单调性的综合应用，考查化归思想、分类讨论方程不等式思想的综合应用，属于难题．