Question

如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D

Answer 1

解题思路：（1）OB、OE均是⊙O的半径，得出OB=OE，然后在Rt△AOE中，运用勾股定理可得出y与x的关系式，结合二次根式有意义的条件，可得出x的范围；

（2）先判断△AOE∽△DEF，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△DEF周长的表达式，进一步化简可得出答案；

（3）设⊙O的半径R₁=x，则⊙A的半径R₂=8-x，圆心距d=OA=8-x，分三种情况讨论，依此解出x的范围即可．

（1）∵以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E，

∴OB=OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∴AO²+AE²=OE²，即（8-x）²+y²=x²，

∵y>0，

∴y=4

x−4（4

（2）△EFD的周长不变．理由如下：

∵EF⊥OE，

∴∠AEO+∠DEF=90°，

∵∠D=∠A=90°，

∴∠AEO+∠AOE=90°，

∴∠DEF=∠AOE，

∴△AOE∽△DEF，

∴

C△AOE

C△DEF=[AO/ED]，即[8+y

C△DEF=

8−x/8−y]，

∴C_△DEF=

64−y2

8−x=[64−16x+64/8−x]=

16(8−x)

8−x=16；

（3）设⊙O的半径R₁=x，则⊙A的半径R₂=8-x，圆心距d=OA=8-x，

∵4

∴R₁>R₂，

因为点A始终在⊙O内，所以外离和外切都不可能；

①当⊙O与⊙A相交时，R₁-R₂1+R₂，即x-8+x<8-x解得：0故可得此时：4②当⊙O与⊙A内切时，d=R₁-R₂，即8-x=x-8+x，
解得：x=[16/3]；
③当⊙O与⊙A内含时，01-R₂，即0<8-x解得：[16/3]

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 此题属于圆的综合题目，涉及了圆与圆的位置关系判断、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，整体难度较大，其实第二问和第三问是独立的，分别考查不同的知识点．