已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且-a2,Sn,2an+1成等差.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)2Sn=-a2+2an+1⇒当n≥2时,2Sn-1=-a2+2an,两式相减,可得

    a

    n+1

    a

    n

    =2(n≥2),验证可得n=1时也满足

    a

    n+1

    a

    n

    =2,从而知{an}是首项a1=2,公比为2的等比数列,于是可得数列{an}的通项公式;

    (Ⅱ)利用裂项法易求bn=

    1

    2

    n

    −1

    -

    1

    2

    n+1

    −1

    ,从而可求Tn=1-

    1

    2

    n+1

    −1

    (Ⅰ)∵2Sn=-a2+2an+1

    ∴当n≥2时,2Sn-1=-a2+2an

    两式相减得2an=2an+1-2an(n≥2),

    an+1

    an=2;

    又当n=1时,2a1=-a2+2a2,得a2=2a1

    ∴n=1时也满足

    an+1

    an=2,

    ∴{an}是首项a1=2,公比为2的等比数列,

    ∴an=2n

    (Ⅱ)∵bn=

    2n

    (2n−1)(2n+1−1)=

    1

    2n−1-

    1

    2n+1−1,

    ∴Tn=b1+b2+…+bn

    =(

    1

    21−1-

    1

    22−1)+(

    1

    22−1-

    1

    23−1)+…+(

    1

    2n−1-

    1

    2n+1−1)

    =1-

    1

    2n+1−1.

    点评:

    本题考点: 数列的求和;等差数列的性质.

    考点点评: 本题考查数列的求和,着重考查等差关系的确定与裂项法求和,考查推理与运算能力,属于中档题.