Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是线段A1B和A1B1的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连结AB₁和B₁C，由已知条件推导出MO∥B₁C，由此能证明MN∥平面B₁BCC₁，从而平面MON∥平面B₁BCC₁．

（Ⅱ）由正方形性质得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥CC₁，从而BD⊥平面A₁ACC₁，由此能证明平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

证明：（Ⅰ）连结AB₁和B₁C，

∵M是BA₁的中点，∴M也是AB₁的中点，

∵O是AC的中点，∴MO∥B₁C，

∵MO不包含于平面B₁BCC₁，B₁C⊂平面B₁BCC₁，

∴MO∥平面B₁BCC₁，

又∵N是线段A₁B₁的中点，∴MN∥BB₁，

而MN不包含于平面B₁BCC₁，BB₁⊂平面B₁BCC₁，

∴MN∥平面B₁BCC₁，

又MN∩MO=M，∴平面MON∥平面B₁BCC₁．

（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∵CC₁⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴BD⊥CC₁，

∵AC⊂平面A₁ACC₁，C₁C⊂平面A₁ACC₁，且AC∩C₁C=C，

∴BD⊥平面A₁ACC₁，

∵BD⊂平面A₁BD，

∴平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．