Question

如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角

Answer 1

（1）①BF=AD，BF⊥AD。

②BF=AD，BF⊥AD仍然成立。证明如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC。

∵四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠FCD=90°。

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD。

在△BCF和△ACD中，∵BC=AC，∠BCF=∠ACD，CF=CD，

∴△BCF≌△ACD（SAS）。∴BF=AD，∠CBF=∠CAD。

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。

∴BF⊥AD。

（2）连接DF，

∵四边形CDEF是矩形，∴∠FCD=90°。

又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD。

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD。

∵AC=4，BC=3，CD=

，CF=1，

∴

B。∴△BCF∽△ACD。∴∠CBF=∠CAD。

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。

∴BF⊥AD。∴∠BOD=∠AOB=90°。

∴BD ²=OB ²+OD ²，AF ²=OA ²+OF ²，AB ²=OA ²+OB ²，DF ²=OF ²+OD ²。

∴BD ²+AF ²=OB ²+OD ²+OA ²+OF ²=AB ²+DF ²。

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB ²=AC ²+BC ²=3 ²+4 ²=25。

∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=

，CF=1，∴

。

∴

。

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