（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的所有棱长都 - 知识问答

（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为 ,

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平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．
(1)如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°，
使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到
点B₂的位置，连接A₁B₂，则A₁B₂就是由点B沿
棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线．
设棱柱的棱长为
，则B₂C=AC=AA₁＝
,
∵CD∥AA₁_，∴
为
的中点．………2分
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得
，
即
，解得
，∵
，
∴
． ………5分
(2)设A₁B与AB₁的交点为O,连结BB₂,OD，则
．
∵
平面
2 ，
平面
2 ，∴
平面
2 ，
即在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行． ………9分
(3)连结AD,B₁D∵
≌
≌
≌
，
∴
，∴
．
∵
，
，
∴
平面A₁ABB₁，又∵
平面A₁BD．
∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．………13分

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