Question

已知{an}等差数列,{bn}等比数列,a1=b1,a2=b2,a2≠a1,且对所有的自然数n恒有an>0,求证：当n>

Answer 1

假设,K=a2/a1;t=b2-b1=a2-a1

则,an=(n-1)t+a1=(n-1)a2+(n-2)a1=(Kn-K+n-2)a1

bn=K^(n-1) *a1

因此,只要证明,K的n-1次方,比Kn-K+n-2大,在K>1,n>2的情况下,恒成立就行了.

这里,建议用数学归纳法～

在n=3时,K的平方,比2K+1大,可以配成完全平方,证明.

假设,n=k时,也成立.K的（k-1)次方 大于 Kk-K+k-2

那么,在n=k+1时,左边增加了一个（K-1）乘以K的（k-1)次方

大于（K-1)(Kk-K+k-2).

右边增加了,K+1

（K-1)(Kk-K+k-2)-(K+1)=(k-1)K^2-2K-k+1>0

假设成立,命题得证