Question

附加题：把1～999这999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上（如图）．从1开始按顺时针的方向，保留1，擦去2；

Answer 1

解题思路：如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．我们还应从最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．

如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7个数，最后剩下7；如果是1-8，8个数，最后剩下1．发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2ⁿ时（n≥2），当擦完一圈后还剩2^n-1个数，把问题化成2^n-1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．

由于2⁹=512，2¹⁰=1024，2⁹＜999＜2¹⁰，

999-512=487．

这就是说，要剩2⁹个数，需要先擦去487个数．按题意，每两个数擦去一个数，当擦第487个数时，最后擦去的数是：487×2=974．

下一个起始数是975，所以，最后剩下的数应是975．

答：最后剩下的数是975．

点评：

本题考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．

考点点评： 这类题目有一定的规律：如果数的个数是2n（n是自然数）个数，那么划一圈剩下2n-1个数，划两圈剩下2n-2个数，…划n-1圈，就剩两个数，再划一圈就是剩下安全的数．