解题思路：第（Ⅰ）问利用条件f′（1）=0可以构建关于a，b的方程，然后通过移项就可以用含a的式子表示b，利用导数大于0求函数的单调增区间，导数小于0求函数的单调减区间；第（Ⅱ）问把函数f（x）在（
1
2]，+∞）上有两个零点转化成函数 f（x）的图象与x轴有两个交点，通过求函数的最值、极值和一些函数值与0的关系来确定函数图象与x轴的交点个数，
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=[1/x-ax+b
∴f′（1）=1-a+b=0，即b=a-1…（2分）
∴f′（x）
1
x-ax+a-1=-
(ax+1)(x-1)
x]…（3分）
由f′（x）＞0及x＞0，a＞0得0＜x＜1
由f′（x）＜0及x＞0，a＞0得x＞1…（5分）
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞） …（6分）
（2）由（1）知f（x）在(
1
2，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，
∵f（x）在(
1
2，+∞)上有两个零点
∴f（x）max=f（1）=[1/2a-1＞0，得a＞2 …（8分）
又f（e）=1-
1
2ae2+(a-1)e=-
1
2a(e-1)2+1+
1
2a-e＜-
1
2a+1+
1
2a-e＜0
∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点…（10分）
∴f（x）在（
1
2，+∞)上有两个零点的充要条件是f（x）在（
1
2，1）上有一个零点，即f（
1
2)＜0，解得a＜
4
3+
8
3ln2…（12分）
综上知所求a的范围为（2，
4
3+8ln2） …（13分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题综合性较强，考查的知识点比较多，主要考查了函数的单调性、零点、最值等，解决本题的关键是把研究函数的零点个数问题转化成图象与x轴的交点个数问题，然后通过求最值、极值和某些函数值与0比较来确定函数图象与x轴的交点个数．
1年前
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