Question

如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,

Answer 1

（1）在△ABC和△DBE中

AB=AD

∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA

因为∠EBC=∠DBE=60°

所以∠ABC=∠DBE

BC=BE

因此△ABC≌△DBE,DE=AC.

△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE

在△ABC和△FEC中

AC=FC

∠ACB=∠ECB-∠ECA

∠FCE=∠FCA-∠ECA

因为∠ECB=∠FCA=60°

所以∠ACB=∠FCE

BC=EC

因此△ABC≌△FEC,EF=AB

因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF

四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°

因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC

所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°,四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形

理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF

由①四边形ADEF是平行四边形

所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°.即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)

（4）∠DAF=240°-∠BAC

当∠BAC=60°时,∠DAF=180°

D、A、F在一条直线上,此时四边形ADEF不存在