Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．

Answer 1

解题思路：（1）现设函数解析式，再根据条件用待定系数法求解未知量，即可确定函数解析式

（2）由已知条件确定原函数在[m．n]上的单调性，根据单调性列出方程组，解方程组即可

（1）∵f（x）是二次函数，设f（x）=ax²+bx+c （a≠0）

∵f（0）=0

∴c=0

∴f（x）=ax²+bx

又∵f（-x+5）=f（x-3）

∴函数f（x）的对称轴为x=1

∴−

b

2a＝1

又∵方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有等根

∴（b-1）²=0

∴b＝1，a＝−

1

2

∴f(x)＝−

1

2x2+x

（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]

∵f(x)＝−

1

2x2+x＝−

1

2(x−1)2+

1

2≤

1

2

∴3n≤

1

2

∴n≤

1

6

又函数f（x）的对称轴为x=1，且开口向下

∴f（x）在[m，n]上单调递增

∴

f(m)＝3m

f(n)＝3n，即

−

1

2m2+m＝3m

−

1

2n2+n＝3n

又m＜n

∴m=-4，n=0

∴存在实数m=-4，n=0满足题意

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，及二次函数的函数值和单调性．需注意条件的转化．属简单题