Question

设x>0,y>0,证明不等式（x^2+y^2)^1/2>(x^3+y^3)1/3 (1)用分析法证；（2）用综合法证

Answer 1

证明：

分析法

要证x²+y²)^1/2>(x³+y³) ^1/3

只需证(x²+y²)^3>(x³+y³) ^2

即证3x^2y^2(x^2+y^2)＞2x^3y^3

即3(x^2+y^2)＞2xy

∵x>0,y>0,3(x^2+y^2)＞(x^2+y^2)＞2xy成立

综合法：倒过来书写

∵x>0,y>0,

∴3(x^2+y^2)＞(x^2+y^2)＞2xy

则3x^2y^2(x^2+y^2)＞2x^3y^3

∴(x²+y²)^3>(x³+y³) ^2

∴x²+y²)^1/2>(x³+y³) ^1/3