1.f(x)是定义在R上的减函数,且f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立,求a范围?
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3个回答

  • 1.

    由于f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立

    又:f(x)是在R上的减函数

    则有:a^2-sinx≥a+3/4+(cosx)^2

    即:a^2-a-3/4≥(cosx)^2+sinx

    a^2-a-3/4≥[1-(sinx)^2]+sinx

    故:a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max

    设t=sinx ,f(t)=-t^2+t+1

    由于X属于R,则t=sinx属于[-1,1]

    又:f(t)=-(t^2-t-1)

    =-(t^2-t+1/4-5/4)

    =-(t-1/2)^2+5/4

    则当t=1/2时,f(t)max=f(1/2)=5/4

    故:a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max=5/4

    则:a^2-a-2≥0

    (a+1)(a-2)≥0

    则:a≥2或a≤-1

    2.由于对于任意实数x,

    都有:x≤f(x)≤1/2(x^2+1)

    令X=1

    则有:1≤f(1)≤1

    即:f(1)=1

    则由f(-1)=0,得:a-b+c=0

    f(1)=1,得:a+b+c=1

    联立,得b=a+c=1/2

    又因为:对任意实数x,都有f(x)-x≥0

    即ax^2-x/2+c≥0

    所以:判别式小于等于0,且a>0

    即ac≥1/16

    又因为a+c≥2√ac≥2√(1/16)=1/2

    且已知a+c=1/2

    所以a=c=1/4

    故存在实数a=1/4,b=1/2,c=1/4,使不等式x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x成立

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