矩阵之间的等价关系具有以下性质
1 反身性 A~A
2 对称性 若A~B,则B~B
3 传递性 若A~B,B~C,则A~C.
对任何方阵A,A~E(行变换)的充分必要条件是A可逆,且当A可逆时,（A,E）~(E,A-1)
定理1设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵,对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
定理2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…PL,使A=P1P2…PL
推论1 方阵A可逆的充分必要条件就是A~E（行变换）
推论2 m×n矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B
(A,B)~(E,X)(行变换)则A可逆,且X=A-1B
定理3 若A,B等价,则R(A)=R(B)
定理5 元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)= R(A,b)
定理6 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R(A) ＜n
定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R（A）=R（A,B）
定理8 若AB=C,则R(C) ≤min{R(A),R(B)}
定理9 矩阵方程Am×n ×Xn×l只有零解的充分必要条件是R(A)=n