作底面的对角线AC交BD于E,知AC,BD互相垂直平分于E.再连接A1E,A1B,A1D.知A1B=A1D.即A1BD为等腰三角形,而A1E为其底边上的中线,故A1E垂直于BD.上面已经证明:AE垂直于BD.故角A1EA为二面角A1-BD-A的平面角.在三角形A1EA中.A1A垂直于AE,即A1EA是直角三角形,从而tan(角A1EA)=A1A/AE.设A1A=a,则AE=(根号2)/2.故tan(角A1EA)=根号2.
正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为
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