解题思路：（1）设二次函数f（x）的解析式，代入f（x+1）-f（x）=2x和f（0）=1，可求a、b、c的值；
（2）x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，即x2-3x+1=m在x∈[-1，1]上有解；求出g（x）=x2-3x+1，x∈[-1，1]的值域即是m的取值范围；
（3）由g（t）=f（2t+a）是二次函数，图象是抛物线，对称轴是x=[1−2a/4]，讨论对称轴在闭区间[-1，1]的左侧还是右侧，从而确定函数的最值问题．
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
代入f（x+1）-f（x）=2x和f（0）=1，
得
a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c＝2x
c＝1，化简得
2ax+a+b＝2x(x∈R)
c＝1；
∴a=1，b=-1，c=1，∴f（x）的解析式为f（x）=x2-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，
即方程x2-3x+1=m在x∈[-1，1]上有解；
令g（x）=x2-3x+1，x∈[-1，1]，则g（x）的值域是[-1，5]，
所以，m的取值范围是[-1，5]；
（3）∵g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a-2）t+a2-a+1，t∈[-1，1]；
对称轴是x=[1−2a/4]，
∴①当[1−2a/4]≥0，即a≤[1/2]时，
g（t）max=g（-1）=4-（4a-2）+a2-a+1=a2-5a+7；
②当[1−2a/4]＜0，即a＞[1/2]时，
g（t）max=g（1）=4+（4a-2）+a2-a+1=a2+3a+3；
综上所述，g（t）max=
a2−5a+7…a≤
1
2
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值；函数的零点．
考点点评： 本题考查了求二次函数的解析式与二次函数在闭区间上的最值问题，其中（1）是基础题（2）是中档题（3）是难题．