Question

已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]ex（其中a∈R）．（1）若x=0为f（x）的极值点，求a

Answer 1

（1）∵函数f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x，

∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，

∵x=0为f（x）的极值点，

∴f′（0）=ae⁰=0，解得a=0．

检验，当a=0时，f′（x）=xe^x，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．

∴x=0为f（x）的极值点，故a=0．

（2）当a=0时，f（x）＞（x-1）（[1/2]x²+x+1）?（x-1）?e^x＞）（x-1）（[1/2]x²+x+1），

整理得（x-1）[e^x-（[1/2]x²+x+1）]＞0．

即

x?1＞0

ex?

1

2(x2+x+1)＞0或

x?1＜0

ex?

1

2(x2+x+1)＜0

令g（x）=e^x-（[1/2]x²+x+1），h（x）=g′（x）=e²-（x+1），h′（x）=e^x-1，

当x＞0时h′（x）=e^x-1＞0；当x＜0时，h′（x）＜0．

∴h（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0．

即g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，g（0）=0．

故e^x-（[1/2]x²+x+1）＞0?x＞0；e^x-（[1/2]x²+x+1）＜0?x＜0．

∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．