Question

在某工厂要用铁板作成一个am^3得有盖长方体水箱向长,宽,高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省

Answer 1

拉格朗日乘数法

设用料最省时长宽高分别为x,y,z,则用料

f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)

约束条件：xyz=a=> g(x,y,z)=xyz-a

构造拉格朗日函数L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-a)

∂L/∂x=2(y+z)+λyz=0

∂L/∂y=2(x+z)+λxz=0

∂L/∂z=2(x+y)+λxy=0

∂L/∂λ=xyz-a=0

解得

x=y=z=³√a m

即长宽高均为³√a m时用料最省