Question

已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）

Answer 1

解题思路：（1）定义域是使函数表达式有意义的x的取值集合；

（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，用函数单调性的定义证明；

（3）由第一问a＞0时f（x）在R是增函数；故当a=1时，函数y=f（x），x∈（-1，3]时递增，所以f（-1）＜f（x）≤f（3）．

（1）函数f（x）=2^ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为R

（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

由a＞0得ax₁+2＜ax₂+2

因为y=2^x在R上是增函数，

所以有2^ax₁+2＜2^ax₂+2，

即f（x₁）＜f（x₂）

所以函数f（x）在R上是增函数

（3）由（2）知当a=1时，f（x）=2^x+2在（-1，3]上是增函数

所以f（-1）＜f（x）≤f（3）

即2＜f（x）≤32

所以函数f（x）的值域为（2，32]

点评：

本题考点： 函数的值域；函数的定义域及其求法．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性，利用单调性求函数的值域，属于基础题．