Question

数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数fn(x)＝13x3−12(3an+n2)x2+3n2anx的极小值

Answer 1

解题思路：（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2-（3an+n2）x+3n2an=（x-3an）（x-n2）=0，得x1=3an，x2=n2．由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．要使3an＞n2，只需a＞n23n对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数y＝x23x在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为b2＝49．于是当a＞49时，必有a＞n23n．由此能导出存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为(49，+∞)．

（I）当a=0时，a₁=0，则3a₁＜1²．

由题设知f'_n（x）=x²-（3a_n+n²）x+3n²a_n=（x-3a_n）（x-n²）．

令f'_n（x）=0，得x₁=3a_n，x₂=n²．

若3a_n＜n²，则

当x＜3a_n时，f'_n（x）＞0，f_n（x）单调递增；

当3a_n＜x＜n²时，f'_n（x）＜0，f_n（x）单调递减；

当x＞n²时，f'_n（x）＞0，f_n（x）单调递增．

故f_n（x）在x=n²取得极小值．

所以a₂=1²=1

因为3a₂=3＜2²，则，a₃=2²=4

因为3a₃=12＞3²，则a₄=3a₃=3×4，

又因为3a₄=36＞4²，则a₅=3a₄=3²×4，

由此猜测：当n≥3时，a_n=4×3^n-3．

下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a_n＞n²．

事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．

假设当n=k（k≥3）时，3a_k＞k²成立，则由（2）知，a_k+1=3a_k＞k²，

从而3a_k+1-（k+1）²＞3k²-（k+1）²=2k（k-2）+2k-1＞0，

所以3a_k+1＞（k+1）²．

故当n≥3时，3a_n＞n²成立．

于是，当n≥3时，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3．

综上所述，当a=0时，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3（n≥3）．

（Ⅱ）存在a，使数列{a_n}是等比数列．

事实上，若对任意的n，都有3a_n＞n²，则a_n+1=3a_n．即数列{a_n}是首项为a，公比为3的等比数列，且a_n=a•3^n-3．

而要使3a_n＞n²，即a•3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立，只需a＞

n2

3n对一切n∈N^*都成立．

记b＝

n2

3n，则b1＝

1

3，b2＝

4

9，b3＝

1

3，．

令y＝

x2

3x，则y′＝

1

3x(2x−x2ln3)＜

1

3x(2x−x2)．

因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数y＝

x2

3x在这[2，+∞）上单调递减，

故当n≥2时，数列{b_n}单调递减，即数列{b_n}中最大项为b2＝

4

9．

于是当a＞[4/9]时，必有a＞

n2

3n．这说明，当a∈(

4

9，+∞)时，数列a_n是等比数列．

当a=[4/9]时，可得a1＝

4

9，a2＝

4

3，而3a₂=4=2²，由（3）知，f₂（x）无极值，不合题意，

当[1/3＜a＜

4

9]时，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12，…，数列{a_n}不是等比数列．

当a＝

1

3时，3a=1=1²，由（3）知，f₁（x）无极值，不合题意．

当a＜

1

3时，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，数列{a_n}不是等比数列．

综上所述，存在a，使数列{a_n}是等比数列，且a的取值范围为(

4

9，+∞)．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．