Question

利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式-x2-x-1的值总是负数，并求它的最大值．

Answer 1

解题思路：先配方得到：-x²-x-1=-（x²+x+[1/4]）+[1/4]-1=-（x+[1/2]）²-[3/4]，根据非负数的性质得到-（x+[1/2]）²≤0，-（x+[1/2]）²-[3/4]＜0，即可得到结论；并且x=[1/2]时，-x²-x-1有最大值-[3/4]．

证明：-x²-x-1=-（x²+x+

1

4）+

1

4-1

=-（x+

1

2）²-

3

4，

∵-（x+

1

2）²≤0，

∴-（x+

1

2）²-

3

4＜0，

即无论x取何实数值，代数式-x²-x-1的值总是负数，

当x=-

1

2时，-x²-x-1有最大值-

3

4．

点评：

本题考点： 配方法的应用．

考点点评： 题考查了配方法的应用：对于求代数式的最值问题，先通过配方，把代数式变形成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质确定代数式的最值．