解题思路：（Ⅰ）可求得f′（x）=
x
2
−a
x
（x＞0），对参数a分a≤0与a＞0讨论，即可得到f′（x）的符号，从而可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）可求得g′（x）=
x
2
+2x−a
x
（x＞0），设h（x）=x2+2x-a（x＞0），利用g（x）在[1，e]上不单调，可得h（1）h（e）＜0，从而可求得3＜a＜e2+2e，再利用条件g（x）仅在x=e处取得最大值，可求得g（e）＞g（1），两者联立即可求得a的范围．
（Ⅰ）f′（x）=x-[a/x]=
x2−a
x（x＞0）---------（2分）
若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间（0，+∞）-----------------------------（4分）
若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞
a，当f′（x）＜0时，得0＜x＜
a，
所以此时递增区间为：（
a，+∞），递减区间为：（0，
a）---------------------（6分）
（Ⅱ）g′（x）=x-[a/x]+2=
x2+2x−a
x（x＞0），设h（x）=x2+2x-a（x＞0）
若g（x）在[1，e]上不单调，则h（1）h（e）＜0，
∴（3-a）（e2+2e-a）＜0
∴3＜a＜e2+2e，
同时g（x）仅在x=e处取得最大值，
∴只要g（e）＞g（1）即可
得出：a＜
e2
2+2e-[5/2]-------------------------------------------------------------------（13分）
∴a的范围：（3，
e2
2+2e-[5/2]）--------------------------------------------------------------------（15分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查构造函数与转化思想的综合运用，属于难题．