Question

设n阶矩阵A=(aij),其中aij=|i-j|,求|A|

Answer 1

所求行列式 =

0 1 2 … n-2 n-1

1 0 1 … n-3 n-2

2 1 0 … n-4 n-3

… … … … …

n-2 n-3 n-4 … 0 1

n-1 n-2 n-3 … 1 0

rn-r(n-1),r(n-1)-r(n-2),…,r2-r1

0 1 2 … n-2 n-1

1 -1 -1 … -1 -1

1 1 -1 … -1 -1

… … … … …

1 1 1 … -1 -1

1 1 1 … 1 -1

c1+cn,c2+cn,…,c(n-1)+cn

n-1 n n+1 … 2n-3 n-1

0 -2 -2 … -2 -1

0 0 -2 … -2 -1

… … … … …

0 0 0 … -2 -1

0 0 0 … 0 -1

=(n-1)(-1)^(n-1)2^(n-2)