解题思路：（1）先求f（x）的导数，再对参数a进行讨论，利用导数函数值的正负，从而可求f（x）的单调区间；
（2）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．
（1）f′(x)＝a+
1
x，x＞0…（2分）
当a≥0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），…（4分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得x＝−
1
a．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
所以函数f（x）的单调增区间为（0，−
1
a），函数f（x）的单调减区间为(−
1
a，+∞)…（6分）
（2）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max…（8分）
因为g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[0，1]，
所以g（x）max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）…（10分）
当a＜0时，f（x）在(0，−
1
a)上单调递增，在(−
1
a，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(−
1
a)＝−1+ln(−
1
a)＝−1−ln(−a)，…（11分）
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜−
1
e3．…（12分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用导数确定函数的单调性