Question

给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值．

Answer 1

解题思路：设P（x₀，y₀）代入抛物线方程，进而表示出|PA|，分别看当0＜a＜1和a≥1时，根据函数的单调性求得d的最小值．

设P（x₀，y₀）（x₀≥0），则y₀²=2x₀，

∴d=|PA|=

(x0−a)2+

y20

=

(x0−a)2+2x0=

[x0+(1−a)]2+2a−1．

∵a＞0，x₀≥0，

∴（1）当0＜a＜1时，1-a＞0，

此时有x₀=0时，

d_min=

(1−a)2+2a−1=a．

（2）当a≥1时，1-a≤0，

此时有x₀=a-1时，

d_min=

2a−1．

点评：

本题考点： 抛物线的应用．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生对抛物线与函数问题的综合理解．