Question

已知数列{an}中，其中Sn为数列{an}的前n项和，并且Sn+1=4an+2 （n∈N*），a1=1

Answer 1

解题思路：（1）先根据已知条件S_n+1=4a_n+2得到S_n+2=4a_n+1+2，作差整理即可得到数列{b_n}是等比数列；

（2）直接根据数列{b_n}是等比数列，求出a_n+1-2a_n的表达式；再代入数列{c_n}的作差式，整理即可得到结论．

（3）先根据数列{c_n}是等差数列得到的通项得到a_n=（3n-1）2^n-2；再结合S_n+1=4a_n+2 即可求出结论数列{a_n}的前n项和．

（1）由S_n+1=4a_n+2 （n∈N^*）知，S_n+2=4a_n+1+2，两式相减得a_n+2=4a_n+1-4a_n

a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），又b_n=a_n+1-2a_n所以b_n+1=2b_n…①

已知S₂=4a₁+2，a₁=1解得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3…②

由①②得数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴b_n=3•2^n-1．…（4分）

（2）∵b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1．…

∵c_n=

an

2n（n∈N^*），

∴c_n+1-c_n=

an+1

2n+1−

an

2n=

an+1−2an

2n+1=

3•2n−1

2n+1=[3/4]．

又c₁=

a1

2=[1/2]，

故数列{c_n}是首项为[1/2]，公差是[3/4]的等差数列，

∴c_n=[3/4]n-[1/4]…（8分）

（3）∵c_n=

an

2n（n∈N^*）

又c_n=[3/4]n-[1/4]

∴a_n=（3n-1）2^n-2…（10分）

当n≥2时，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）2^n-1+2；

当n=1时S₁=a₁=1也适合上式，

所以{a_n}的前n项为S_n=（3n-4）2^n-1+2…（12分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考察数列的求和以及等差数列和等比数列的确定．解决本题的关键在于由Sn+1=4an+2 得到Sn+2=4an+1+2，进而作差整理得到数列{bn}是等比数列．