二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数.二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0).其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线.
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：1：y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数.顶点坐标(-b/2a,(4ac-b²)/4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件,通常可设一般式）
2.顶点式：y=a(x+m)^2+k(a≠0,m≠0,k≠0) (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)（若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式）,顶点坐标为（-m,k）对称轴x=-m
3.交点式（与x轴）：y=a(x-x₁)(x-x₂) （若给出抛物线与x轴的交点及对称轴与x轴的交点距离或其他一的条件,通常可设交点式）
重要概念：（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；
②[t,正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0 ⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0,图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ＝0,图象与x轴交于一点：（-b/2a,0）； Δ＜0,图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≥(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小 此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.
焦点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴焦点和另一个点坐标设焦点式.两焦点X值就是相应X1 X2值.
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
1．二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a,4ac-b^2/4a) x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,
当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k