用2 4 6 8 .32制成四阶幻方

3个回答

  • 仅供参考:

    奇阶幻方

    当n为奇数时,我们称幻方为奇阶幻方.可以用Merzirac法与loubere法实现,根据我的研究,发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方,故命名为horse法.

    偶阶幻方

    当n为偶数时,我们称幻方为偶阶幻方.当n可以被4整除时,我们称该偶阶幻方为双偶幻方;当n不可被4整除时,我们称该偶阶幻方为单偶幻方.可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现,Strachey为单偶模型,我对双偶(4m阶)进行了重新修改,制作了另一个可行的数学模型,称之为Spring.YinMagic是我于2002年设计的模型,他可以生成任意的偶阶幻方.

    在填幻方前我们做如下约定:如填定数字超出幻方格范围,则把幻方看成是可以无限伸展的图形,如下图:

    Merzirac法生成奇阶幻方

    在第一行居中的方格内放1,依次向左上方填入2、3、4…,如果左上方已有数字,则向下移一格继续填写.如下图用Merziral法生成的5阶幻方:

    17 24 1 8 15

    23 5 7 14 16

    4 6 13 20 22

    10 12 19 21 3

    11 18 25 2 9

    loubere法生成奇阶幻方

    在居中的方格向上一格内放1,依次向右上方填入2、3、4…,如果右上方已有数字,则向上移二格继续填写.如下图用Louberel法生成的7阶幻方:

    30 39 48 1 10 19 28

    38 47 7 9 18 27 29

    46 6 8 17 26 35 37

    5 14 16 25 34 36 45

    13 15 24 33 42 44 4

    21 23 32 41 43 3 12

    22 31 40 49 2 11 20

    horse法生成奇阶幻方

    先在任意一格内放入1.向左走1步,并下走2步放入2(称为马步),向左走1步,并下走2步放入3,依次类推放到n.在n的下方放入n+1(称为跳步),再按上述方法放置到2n,在2n的下边放入2n+1.如下图用Horse法生成的5阶幻方:

    77 58 39 20 1 72 53 34 15

    6 68 49 30 11 73 63 44 25

    16 78 59 40 21 2 64 54 35

    26 7 69 50 31 12 74 55 45

    36 17 79 60 41 22 3 65 46

    37 27 8 70 51 32 13 75 56

    47 28 18 80 61 42 23 4 66

    57 38 19 9 71 52 33 14 76

    67 48 29 10 81 62 43 24 5

    一般的,令矩阵[1,1]为向右走一步,向上走一步,[-1,0]为向左走一步.则马步可以表示为2X+Y,{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}.对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y.上面的的是X型跳步.Horse法生成的幻方为魔鬼幻方.

    Hire法生成偶阶幻方

    将n阶幻方看作一个矩阵,记为A,其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j).在A内两对角线上填写1、2、3、……、n,各行再填写1、2、3、……、n,使各行各列数字之和为n*(n+1)/2.填写方法为:第1行从n到1填写,从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n,第2行第n列填1),从第n/2+1到第n行按n到1进行填写,对角线的方格内数字不变.如下所示为6阶填写方法:

    1 5 4 3 2 6

    6 2 3 4 5 1

    1 2 3 4 5 6

    6 5 3 4 2 1

    6 2 4 3 5 1

    1 5 4 3 2 6

    如下所示为8阶填写方法(转置以后):

    1 8 1 1 8 8 8 1

    7 2 2 2 7 7 2 7

    6 3 3 3 6 3 6 6

    5 4 4 4 4 5 5 5

    4 5 5 5 5 4 4 4

    3 6 6 6 3 6 3 3

    2 7 7 7 2 2 7 2

    8 1 8 8 1 1 1 8

    将A上所有数字分别按如下算法计算,得到B,其中b(i,j)=n×(a(i,j)-1).则AT+B为目标幻方

    (AT为A的转置矩阵).如下图用Hire法生成的8阶幻方:

    1 63 6 5 60 59 58 8

    56 10 11 12 53 54 15 49

    41 18 19 20 45 22 47 48

    33 26 27 28 29 38 39 40

    32 39 38 36 37 27 26 25

    24 47 43 45 20 46 18 17

    16 50 54 53 12 11 55 9

    57 7 62 61 4 3 2 64

    Strachey法生成单偶幻方

    将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.

    A C

    D B

    A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方;B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方;C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方;D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方;在A中间一行取m个小格,其中1格为该行居中1小格,另外m-1个小格任意,其他行左侧边缘取m列,将其与D相应方格内交换;B与C接近右侧m-1列相互交换.如下图用Strachey法生成的6阶幻方:

    35 1 6 26 19 24

    3 32 7 21 23 25

    31 9 2 22 27 20

    8 28 33 17 10 15

    30 5 34 12 14 16

    4 36 29 13 18 11

    Spring法生成以偶幻方

    将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将n阶幻方看作一个矩阵,记为A,其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j).

    先令a(i,j)=(i-1)*n+j,即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n;即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n;…………之后进行对角交换.对角交换有两种方法:

    方法一;将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换;将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.(保证不同时为奇或偶即可.)

    方法二;将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.

    如下图用Spring法生成的4阶幻方:

    16 2 3 13

    5 11 10 8

    9 7 6 12

    4 14 15 1

    YinMagic构造偶阶幻方

    先构造n-2幻方,之后将其中的数字全部加上2n-2,放于n阶幻方中间,再用本方法将边缘数字填写完毕.本方法适用于n>4的所有幻方,我于2002年12月31日构造的数学模型.YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方.如下图用YinMagic法生成的6阶幻方:

    10 1 34 33 5 28

    29 23 22 11 18 8

    30 12 17 24 21 7

    2 26 19 14 15 35

    31 13 16 25 20 6

    9 36 3 4 32 27

    魔鬼幻方

    如将幻方看成是无限伸展的图形,则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方.则称该幻方为魔鬼幻方.

    用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方.如下的幻方更是魔鬼幻方,因为对于任意四个在两行两列上的数字,他们的和都是34.此幻方可用YinMagic方法生成.

    15 10 3 6

    4 5 16 9

    14 11 2 7

    1 8 13 12

    罗伯法:

    1居上行正中央,一次排开右上方.