Question

求正交变换X=PY ,将二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2-2x1x2-2x1x3-2x2

Answer 1

二次型的矩阵A=

2 -1 -1

-1 2 -1

-1 -1 2

|A-λE| = -λ(λ-3)^2

所以A的特征值为 3,3,0

(A-3E)X=0的基础解系为 a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T [正交]

AX=0的基础解系为 a3=(1,1,1)^T

单位化得

b1=(1/√2,-1/√2,0)^T,b2=(1/√6,1/√6,-2/√6)^T,b3=(1/√3,1/√3,1/√3)^T

令Q=(b1,b2,b3)=

1/√2 1/√6 1/√3

-1/√2 1/√6 1/√3

0 -2/√6 1/√3

则Q是正交矩阵,X=QY是正交变换,

且f=3y1^2+3y2^2.