在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN ∥ BC交AC于点N.

1个回答

  • (1)∵MN ∥ BC,

    ∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.

    ∴△AMN ∽ △ABC.

    AM

    AB =

    AN

    AC ,即

    x

    4 =

    AN

    3 ;

    ∴AN=

    3

    4 x;

    ∴S=S △MNP=S △AMN=

    1

    2 •

    3

    4 x•x=

    3

    8 x 2.(0<x<4)

    (2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,则AO=OD=

    1

    2 MN.

    在Rt△ABC中,BC=

    A B 2 +A C 2 =5;

    由(1)知△AMN ∽ △ABC,

    AM

    AB =

    MN

    BC ,即

    x

    4 =

    MN

    5 ,

    ∴MN=

    5

    4 x

    ∴OD=

    5

    8 x,

    过M点作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD=

    5

    8 x,

    在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,

    ∴△BMQ ∽ △BCA,

    BM

    BC =

    QM

    AC ,

    ∴BM=

    5

    8 x

    3 =

    25

    24 x,AB=BM+MA=

    25

    24 x+x=4

    ∴x=

    96

    49 ,

    ∴当x=

    96

    49 时,⊙O与直线BC相切;

    (3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.

    ∵MN ∥ BC,

    ∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,

    ∴△AMO ∽ △ABP,

    AM

    AB =

    AO

    AP =

    1

    2 ,

    ∵AM=MB=2,

    故以下分两种情况讨论:

    ①当0<x≤2时,y=S △PMN=

    3

    8 x 2

    ∴当x=2时,y最大=

    3

    8 ×4=

    3

    2 ,

    ②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F,

    ∵四边形AMPN是矩形,

    ∴PN ∥ AM,PN=AM=x,

    又∵MN ∥ BC,

    ∴四边形MBFN是平行四边形;

    ∴FN=BM=4-x,

    ∴PF=x-(4-x)=2x-4,

    又∵△PEF ∽ △ACB,

    ∴ (

    PF

    AB ) 2 =

    S △PEF

    S △ABC ,

    ∴S △PEF=

    3

    2 (x-2) 2

    y=S △MNP-S △PEF=

    3

    8 x 2-

    3

    2 (x-2) 2=-

    9

    8 x 2+6x-6,

    当2<x<4时,y=-

    9

    8 x 2+6x-6=-

    9

    8 (x-

    8

    3 ) 2+2,

    ∴当x=

    8

    3 时,满足2<x<4,y最大=2.

    综上所述,当x=

    8

    3 时,y值最大,最大值是2.