Question

某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD

Answer 1

解题思路：（1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的关系式；

（2）设y-1=t（t≥0.5），则原式l=4t+[1.5/t]+5.5，利用基本不等式求出结果．

（1）由CD=x，则BD=x-0.5，设BC=y，

则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，

在△BCD中，由余弦定理x²+y²-2xycos60°=（x-0.5）²，

化简得 y²-xy+x-0.25=0，即x=

y2−0.25

y−1①…（4分）

记l=y+y+x-0.5+x=2y+2x-0.5=

4y2−2y−0.5

y−1-0.5---------（6分）

（2）由题中条件得2y≥3，即y≥15，设y-1=t（t≥0.5）

则原式l=4t+[1.5/t]+5.5…（10分）

∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+[1.5/t]≥2

6

有且仅当4t=[1.5/t]，即t=

6

4时成立，

∴y=

6

4+1，∴x=

3

6+8

4，

∴当AB=

6

2+2，CD=

8+3

6

4时，金属支架总长度最短． …（16分）

点评：

本题考点： 解三角形的实际应用．

考点点评： 本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式，考查函数的最值问题，是中档题．