设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,3..

1个回答

  • 依题意可知Ai=ai•a(i+1),

    则:A(i+1)=a(i+1)•a(i+2),

    必要性:

    由于{An}为等比数列

    A(i+1)/Ai=a(i+2)/ai

    =q(q为常数)

    由于:i=1,2,3...,即i为任意正整数

    则a1,a3,…,a(2n-1),…和a2,a4,…,a(2n),…均是等比数列,且公比均为q;

    充分性:

    a1,a3,…a(2n-1),…和a2,a4,…a(2n),…均是等比数列,且公比相同时

    可得:a(i+2)/ai=t (t为公比)

    A(i+1)/Ai

    =(a(i+1)*a(i+2))/(ai*a(i+1))

    =a(i+2)/ai

    =t

    为常数,

    即{An}为等比数列

    故{An}为等比数列的充要条件是a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同.

    故选D