Question

如图，AB是半圆O的直径，过半圆O上的一点D分别作AB的垂线与半圆O的切线，交直线AB于点E与点C，过点B平行于CD的直

Answer 1

解题思路：（1）若要证BF=DF，则需证∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠DBF，再证∠BDC=∠BDE，由∠BDC+∠ODB=90°和∠BDE+∠OBD=90°即可证得．

（2）此题可先由（1）得∠BFE=∠BOD，在Rt△BEF中求得各边的长，则DF也可求出，再由BF∥DC得[BE/BC]=[EF/DF]，解得BC的长．

（1）证明：∵CD是切线，∴OD⊥CD，即∠BDC+∠ODB=90°．

∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠OBD=90°．

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．

∴∠BDC=∠BDE．

又∵BF∥CD，∴∠BDC=∠DBF．

∴∠BDE=∠DBF．

∴BF=DF．

（2）∵∠BOD+∠ODE=90°，∠CDE+∠ODE=90°，

∴∠BOD=∠CDE．

又∵BF∥CD，∴∠BFE=∠CDE．

∴∠BOD=∠BFE．

在Rt△BEF中，∵sin∠BFE＝

BE

BF＝

4

5，

∴BE＝

4

5BF．

∵BE²+EF²=BF²，∴(

4

5BF)2+32＝BF2，

解得BF=5．∴BE=4，DF=5．

∵BF∥DC，∴[BE/BC]=[EF/DF]，得[4/BC＝

3

5]，

∴BC＝

20

3．

点评：

本题考点： 切线的性质；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了切线的性质、解直角三角形等综合性问题，难度稍大．