已知函数f(x)=x3-ax2-3x.

1个回答

  • (I)依题意,求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3,

    ∵x=−

    1

    3是f(x)的极值点

    ∴f′(-[1/3])=0,∴[1/3]+[2/3]a-3=0,∴a=4,

    ∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3,

    令f′(x)=3x2-8x-3=0,解得x1=-[1/3],x2=3,

    ∴函数在(1,3)上单调减,(3,4)上单调增

    而f(1)=-6,f(3)=-18,f(4)=-12,∴f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)=-6.

    (Ⅱ)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个不同的交点,等价于方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等的实数根,

    而x=0是方程x3-4x2-3x=bx的一个实数根,则方程x2-4x-3-b=0有两个非零实数根,

    △=16+4(b+3)>0

    −3−b≠0,即b>-7且b≠-3,

    故满足条件的b存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).