(I)依题意,求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3,
∵x=−
1
3是f(x)的极值点
∴f′(-[1/3])=0,∴[1/3]+[2/3]a-3=0,∴a=4,
∴f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3,
令f′(x)=3x2-8x-3=0,解得x1=-[1/3],x2=3,
∴函数在(1,3)上单调减,(3,4)上单调增
而f(1)=-6,f(3)=-18,f(4)=-12,∴f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)=-6.
(Ⅱ)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个不同的交点,等价于方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等的实数根,
而x=0是方程x3-4x2-3x=bx的一个实数根,则方程x2-4x-3-b=0有两个非零实数根,
则
△=16+4(b+3)>0
−3−b≠0,即b>-7且b≠-3,
故满足条件的b存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).