已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求:

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  • 解题思路:(Ⅰ)方程有两个正根,首先要保证方程有两个根,即该方程为二次方程(二次项系数不为零),且△≥0,再由根与系数的关系,可得两根之和、两根之积均为正,构造不等式组,解不等式组即可得到答案.

    (Ⅱ)方程至少有一个正根,包含这样几种情况:①方程有两个正根②方程有一个非正根和一正根③方程为一次方程,只有一正根.分类讨论后综合即可得到答案.

    首先方程有二实根的充要条件是:

    1-a≠0

    △=(a+2)2+16(1-a)≥0

    解之得:a≥10或a≤2且a≠1

    设方程的二实根为x1,x2,则x1+x2=

    a+2

    a-1,x1x2=

    4

    a-1

    (Ⅰ)x1,x2均为正根⇔

    a≠1

    a≤2或a≥10

    x1+x2=

    a+2

    a-1>0

    x1x2=

    4

    a-1>0

    解之得:1

    (Ⅱ)①由(Ⅰ)知,当a≥10或1

    ②方程有一正根,一负根⇔

    a≠1

    a<2或a>10

    x1x2=

    4

    a-1<0解得:a<1

    ③当a=1时,方程化为3x-4=0,有一个正根x=

    4

    3

    综合①②③得,方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10

    点评:

    本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断.

    考点点评: 遇到类二次方程/函数/不等式(即解析式的二次项系数含有参数)时,一般要进行分类讨论,分类的情况一般有:①先讨论二次项系数a是否为0,以确定次数②再讨论二次项系数a是否大于0,以确定对应函数的开口方向,③再讨论△与0的关系,以确定对应方程根的个数.