解题思路:(Ⅰ)方程有两个正根,首先要保证方程有两个根,即该方程为二次方程(二次项系数不为零),且△≥0,再由根与系数的关系,可得两根之和、两根之积均为正,构造不等式组,解不等式组即可得到答案.
(Ⅱ)方程至少有一个正根,包含这样几种情况:①方程有两个正根②方程有一个非正根和一正根③方程为一次方程,只有一正根.分类讨论后综合即可得到答案.
首先方程有二实根的充要条件是:
1-a≠0
△=(a+2)2+16(1-a)≥0
解之得:a≥10或a≤2且a≠1
设方程的二实根为x1,x2,则x1+x2=
a+2
a-1,x1x2=
4
a-1
(Ⅰ)x1,x2均为正根⇔
a≠1
a≤2或a≥10
x1+x2=
a+2
a-1>0
x1x2=
4
a-1>0
解之得:1
(Ⅱ)①由(Ⅰ)知,当a≥10或1
②方程有一正根,一负根⇔
a≠1
a<2或a>10
x1x2=
4
a-1<0解得:a<1
③当a=1时,方程化为3x-4=0,有一个正根x=
4
3
综合①②③得,方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10
点评:
本题考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
考点点评: 遇到类二次方程/函数/不等式(即解析式的二次项系数含有参数)时,一般要进行分类讨论,分类的情况一般有:①先讨论二次项系数a是否为0,以确定次数②再讨论二次项系数a是否大于0,以确定对应函数的开口方向,③再讨论△与0的关系,以确定对应方程根的个数.