Question

已知a2+b2=c2,a,b,c为正整数,且a为质数,求证2(a+b+1)为完全平方数

Answer 1

a2+b2=c2

a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)

因为a是质数,而(c+b)和(c-b)不可能都等于a,所以c-b=1,c+b=a^2,得到c=b+1

将c=b+1代入原式得：

a^2+b^2=(b+1)^2=b^2+2b+1

得到a^2=2b+1

则a^2+2a+1=2b+1+2a+1=2(a+b+1)

左边等于（a+1）^2是一个完全平方数,所以右边2(a+b+1)是一个完全平方数,得证.