Question

若定义在[-2010，2010]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（

Answer 1

解题思路：令g（x）=f（x）-2009，则由已知可得f（x1+x2）-2009=[f（x1）-2009]+[f（x2）-2009]，即g（x1+x2）=g（x1）+g（x2）且 x＞0时，g（x）＞0，，利用赋值可求g（0）=0；令x1=x，x2=-x，，可得 g（-x）=-g（x），即 g（x）是奇函数，从而有若 g（x） 最大值为m，则最小值为-m，可得f（x）=g（x）+2009 得 f（x） 最大值为m+2009，最小值为-m+2009，代入可求

令g（x）=f（x）-2009，则由已知对任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，

f（x₁+x₂）-2009=[f（x₁）-2009]+[f（x₂）-2009]，

可得g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂）且 x＞0时，g（x）＞0

令x₁=x₂=0可得g（0）=0

令x₁=x，x₂=-x，则可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，则 g（-x）=-g（x），所以 g（x）是奇函数

若 g（x） 最大值为m，则最小值为-m

因此，由f（x）=g（x）+2009 得 f（x） 最大值为m+2009，最小值为-m+2009，

所以 M+N=m+2009+（-m）+2009=4018

故选D

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本小题主要考查函数奇偶性的应用、利用赋值求解抽象函数的函数值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，解题的关键是利用构造整体求解，属于中档题．