Question

如图已知在⊙O中，直径AB=10，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是弧BC上一点，连接AF交CE于H，连接

Answer 1

解题思路：（1）根据垂径定理求出弧AC=弧AD，推出∠ACH=∠AFC即可；推出∠AFB=∠AEH=90°，即可推出△AEH∽△AFB；

（2）连接OC，求出OE、OC的值，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理得出CD=2CE即可；

（3）由相似得出比例式，推出AC²=AH×AF，由勾股定理求出AC即可．

（1）△ACH∽△AFC，△AEH∽△AFB；

说明理由：∵AB是直径，AB⊥CD，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ACH=∠AFC，

∵∠CAH=∠FAC，

∴△ACH∽△AFC．

（2）∵CD⊥AB，连接OC，AB=10，AE：BE=1：4，

∴AE=2，则OE=3，OC=5，

在Rt△OCE中，由勾股定理得，CE=4，

∴由垂径定理得：CD=2CE=8．

（3）∵△ACH∽△AFC，

∴[AC/AH＝

AF

AC]，

∴AC²=AH×AF，

∴Rt△ACE中，由勾股定理得AC²=2²+4²=20，

∴AH×AF=20．

点评：

本题考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．